高校数学：極限：数列と極限の問題(静岡大)

2023年7月21日2023年8月10日

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こんにちは。それではやっていきましょう。

2012静岡大

【問題】 $a_1$ を $\dfrac{\pi}{12}<a_1<\dfrac{\pi}{4}$ を満たす数とし, $\left\{a_n\right\}$ を
$a_{n+1}=1-\sin a_n\ (n=1, 2, 3, \cdots)$
で定められる数列とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 直線 $y=1-x$ と曲線 $y=\sin x$ は, $\dfrac{\pi}{12}<x<\dfrac{\pi}{4}$ の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ。
(2) $n$ を自然数とするとき, 不等式 $\dfrac{\pi}{12}<a_n<\dfrac{\pi}{4}$ を示せ。
(3) (1)の交点の $x$ 座標を $\alpha$ とするとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ が成り立つことを示せ。
【静岡大】

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