高校数学：数III積分：tan(x/2)=tとする置換積分問題

こんにちは。不定積分の難易度少し高めの問題です。早速いってみましょう。

問題

【問題】 $\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくことにより, 不定積分 $\displaystyle\int\dfrac{5}{3\sin x+4\cos x}\, dx$ を求めよ。

解答例

以下 $\tan\dfracx2=t$ とする。
$\begin{array}{lll}\sin x&=&2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}\\&=&2\tan\dfrac{x}{2}\cos^2\dfrac{x}{2}\\&=&2\tan\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{1+\tan^2\frac{x}{2}}\\&=&2t\cdot\dfrac{1}{1+t^2}\\&=&\dfrac{2t}{1+t^2}\end{array}$
よって,
$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}\cdots\maru1$
次に,
$\begin{array}{lll}\cos x&=&2\cos^2\dfrac{x}{2}-1\\&=&2\cdot\dfrac{1}{1+\tan^2\frac{x}{2}}-1\\&=&\dfrac{2-(1+t^2)}{1+t^2}\\&=&\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\end{array}$
よって,
$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\cdots\maru2$
また,
$t=\tan\dfrac{x}{2}$ とし, 辺々を $x$ で微分すると,
$\begin{array}{lll}\dfrac{dt}{dx}&=&\left(\tan\dfrac{x}{2}\right)'\\&=&\dfrac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot\dfrac12\\&=&\dfrac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}\\&=&\dfrac12\left(1+\tan^2\dfrac{x}{2}\right)\\&=&\dfrac{1+t^2}{2}\end{array}$
よって,
$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1+t^2}{2}\to\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{2}{1+t^2}$
したがって,
$dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt\cdots\maru3$
$\maru1, \maru2, \maru3$ より,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int\dfrac{5}{3\sin x+4\cos x}\, dx&=&\displaystyle\int\dfrac{5}{\frac{3\cdot2t}{1+t^2}+\frac{4(1-t^2)}{1+t^2}}\cdot\dfrac{2}{1+t^2}\, dt\\&=&-\displaystyle\int\dfrac{5}{2t^2-3t-2}\,dt\\&=&-\displaystyle\int\dfrac{5}{(t-2)(2t+1)}\, dt\\&=&-\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{t-2}-\dfrac{2}{2t+1}\right)\,dt\\&=&\displaystyle\int\left\{\dfrac{(2t+1)'}{2t+1}-\dfrac{(t-2)'}{t-2}\right\}\,dt\\&=&\log\left|2t+1\right|-\log\left|t-2\right|+C\\&=&\log\left|\dfrac{2t+1}{t-2}\right|+C\end{array}$
よって, 求める答えは,
$\log\left|\dfrac{2\tan\dfrac x2+1}{\tan\dfrac x2-2}\right|+C$ 　( $C$ は積分定数)

問題

解答例

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