高校数学：数III積分：部分積分する代わりに微分したら？

こんにちは。今回は部分積分で頻出の $e^x\sin x$ 系の積分を微分を通してクリアにしていこうというコンセプトです。早速見ていきましょう。式中に出てくる $C'$ ， $C$ は積分定数であることは前もってことわっておく。

積分する前に微分する

【例】不定積分 $\displaystyle\int e^{-x}\sin x\, dx$ を求めよ。
【解法例】
$e^{-x}\sin x$ と $e^{-x}\cos x$ をそれぞれ微分する。
$\left(e^{-x}\sin x\right)'=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cox x\cdots\maru1$
$\left(e^{-x}\cos x\right)'=-e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x\cdots\maru2$
ここで， $\maru1+\maru2$ より，
$\left(e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x\right)'=-2e^{-x}\sin x$
両辺を積分すると，
$-2\displaystyle\int e^{-x}\sin x\,dx=e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x+C'$
よって，
$\displaystyle\int e^{-x}\sin x\,dx=-\dfrac12e^{-x}\left(\sin x+\cos x\right)+C$
このようにして，不定積分の式が微分によって得られることが分かった。
また，
$\maru1-\maru2$ より，
$\displaystyle\int e^{-x}\cos x\,dx=\dfrac12e^{-x}\left(\sin x-\cos x\right)+C$
が得られる。

こんなときも使える

【問】2曲線 $y=e^x\cos x$ ， $y=e^x\sin x$ $(0\leqq x\leqq \pi)$ と2直線 $x=0$ と $x=\pi$ とで囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。
【略解】
2つのグラフは， $x=\dfrac{\pi}{4}$ で交点をもち，求める面積 $S$ は，
$\begin{array}{lll}S&=&\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}e^x\left(\cos x-\sin x\right)\,dx+\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}e^x\left(\sin x-\cos x\right)\,dx\cdots\textcircled{\scriptsize{1}}\\&=&\left[e^x\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{4}}+\left[-e^x\cos x\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\\&=&\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}}+e^{\pi}-1\end{array}$
この $\maru1$ の積分で部分積分を用いてもいいのですが，
$\left(e^x\cos x\right)'=e^x\left(\cos x-\sin x\right)$ なので，これを両辺積分すると，
$\displaystyle\int e^x\left(\cos x-\sin x\right)\,dx=e^x\cos x+C$
となる。このことから，積分が容易にできることが知れよう。
この問題とは関係ないが，
$\left(e^x\sin x\right)'=e^x\left(\sin x+\cos x\right)$ が得られるので，先の $\left(e^x\cos x\right)'$ の結果と合わせれば前の不定積分のところで述べたような次の公式が得られる。
$\displaystyle\int e^x\cos x\,dx=\dfrac12e^x\left(\cos x+\sin x\right)+C$
$\displaystyle\int e^x\sin x\,dx=\dfrac12e^x\left(\sin x-\cos x\right)+C$

積分する前に微分する

こんなときも使える

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