高校数学：数III積分：(logx)ⁿ系の積分漸化式

こんにちは。積分漸化式の攻略のカギは部分積分です。早速いってみましょう。

(logx)ⁿの積分漸化式

【例】 $I_n=\displaystyle\int\left(\log x\right)^n\, dx$ について, $I_{n+1}$ と $I_n$ の関係を示せ。

【解答例】
$I_{n+1}=\displaystyle\int\left(\log x\right)^{n+1}\, dx$ とする。
$\begin{array}{lll}I_{n+1}&=&\displaystyle\int\left( x \right)'\left(\log x\right)^{n+1}\, dx\\&=&x\left(\log x\right)^{n+1}-(n+1)\displaystyle\int x\left(\log x\right)^n\left(\log x\right)'\, dx\\&=&x\left(\log x\right)^{n+1}-(n+1)\displaystyle\int \left(\log x\right)^n\, dx\\&=&x\left(\log x\right)^{n+1}-(n+1)I_n\end{array}$
よって,
$I_{n+1}=x\left(\log x\right)^{n+1}-(n+1)I_n$

x(logx)ⁿの積分漸化式

【例】 $I_n=\displaystyle\int x\left(\log x\right)^n\, dx$ について, $I_{n+1}$ と $I_n$ の関係を示せ。

【解答例】
$I_{n+1}=\displaystyle\int x\left(\log x\right)^{n+1}\, dx$ とする。
$\begin{array}{lll}I_{n+1}&=&\displaystyle\int\left( \dfrac12x^2 \right)'\left(\log x\right)^{n+1}\, dx\\&=&\dfrac12x^2\left(\log x\right)^{n+1}-(n+1)\displaystyle\int \dfrac12x^2\left(\log x\right)^n\left(\log x\right)'\, dx\\&=&\dfrac12x^2\left(\log x\right)^{n+1}-\dfrac{n+1}{2}\displaystyle\int x\left(\log x\right)^n\, dx\\&=&\dfrac12x^2\left(\log x\right)^{n+1}-\dfrac{n+1}{2}I_n\end{array}$
よって,
$I_{n+1}=\dfrac12x^2\left(\log x\right)^{n+1}-\dfrac{n+1}{2}I_n$