こんにちは。相城です。今回は円順列について少し書いておきます。
円順列について
円順列とは
いくつかのものを円形に並べるとき, その並び方(順列)を円順列という。
異なる
個のものを円形に並べる順列の総数を,
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として計算します。
円順列では, 回転して並びが同じになるのを, 同じものとして扱います。
異なる
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として計算します。
円順列では, 回転して並びが同じになるのを, 同じものとして扱います。
(n-1)!とは
例えば, A, B, Cの3つを円形に並べる方法は全部で何通りあるか。
これは, 通常の順列を考えると, ですが, 以下のように円順列にすると同じ並び方が3組できます。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2021/01/ensjy2unzu1.png)
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2021/01/ensjyunzu1.png)
したがって, 個の円順列では
個のダブりができるので,
個の円順列の総数は
になります。
したがって, この例題の場合,
2通りとなります。
もう一つの考え方として, 1つ固定して順列と同じように並べるのと同じなので, と捉えることもあります。
n個からr個取って並べる円順列
n個からr個とって円形に並べる
異なる
個のものから
個とって円形に並べる順列の総数を,
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{{}_n \mathrm{P}_r}{r}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66c46b00d7c246361804ed7b50a5ef39_l3.png)
として計算します。
で割るのは
個円形に並べると
個のダブりができるから。
考え方は上と同じ。
また, 異なる
個から
個選んで, それを円順列に並べるとすると,
![Rendered by QuickLaTeX.com {}_n \mathrm{C}_r\times(r-1)!](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35f5c94305b9ef091e2669150b3fafcf_l3.png)
とも表せますね。
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![Rendered by QuickLaTeX.com r](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f084bab73a0649c4c8913df82d77cc1b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{{}_n \mathrm{P}_r}{r}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66c46b00d7c246361804ed7b50a5ef39_l3.png)
として計算します。
![Rendered by QuickLaTeX.com r](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f084bab73a0649c4c8913df82d77cc1b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com r](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f084bab73a0649c4c8913df82d77cc1b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com r](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f084bab73a0649c4c8913df82d77cc1b_l3.png)
考え方は上と同じ。
また, 異なる
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![Rendered by QuickLaTeX.com {}_n \mathrm{C}_r\times(r-1)!](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35f5c94305b9ef091e2669150b3fafcf_l3.png)
とも表せますね。
例題を見てみよう
【例題】5種類のビーズから3つを選んで, 円形に並べる方法は何通りあるか。
【解法1】
20通り
【解法2】
20通り