高校数学：積分の公式の証明と例題

こんにちは。今回は積分で使う技を紹介します。使えると計算量を減らすことができるので, 覚えておきましょう。

奇関数は0, 偶関数は2倍

$a$ を定数とすると, 積分区間が $-a$ から $a$ という具合に絶対値が同じになる正負の積分区間において次の事が言える。
以下 $n$ は0以上の整数とすると,
$\displaystyle\int^{a}_{-a}x^{2n+1}\,dx=0$ 　奇数乗は0
$\displaystyle\int^{a}_{-a}x^{2n},dx=2\displaystyle\int^{a}_{0}x^{2n}\,dx$ 　偶数乗は2倍

証明

【証明1】
$\displaystyle\int^{a}_{-a}x^{2n+1}\,dx=0$ の証明
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^{a}_{-a}x^{2n+1}\,dx&=&\left[\dfrac{x^{2n+2}}{2n+2}\right]^{a}_{-a}\\&=&\dfrac{a^{2n+2}}{2n+2}-\dfrac{(-a)^{2n+2}}{2n+2}\cdots\maru1\end{array}$
$\maru1$ の指数部 $2n+2$ は偶数なので, $(-a)^{2n+2}=a^{2n+2}$ と書ける。
したがって, $\maru1$ は
$\dfrac{a^{2n+2}}{2n+2}-\dfrac{a^{2n+2}}{2n+2}=0$
つまり,
$\displaystyle\int^{a}_{-a}x^{2n+1}\,dx=0$

【証明2】
$\displaystyle\int^{a}_{-a}x^{2n}\,dx=2\displaystyle\int^{a}_{0}x^{2n}\,dx=0$ の証明
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^{a}_{-a}x^{2n}\,dx&=&\left[\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]^{a}_{-a}\\&=&\dfrac{a^{2n+1}}{2n+1}-\dfrac{(-a)^{2n+1}}{2n+1}\cdots\maru2\end{array}$
$\maru2$ の指数部 $2n+1$ は奇数なので, $(-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}$ と書ける。
したがって, $\maru2$ は
$\begin{array}{lll}\dfrac{a^{2n+1}}{2n+1}-\dfrac{-a^{2n+1}}{2n+1}&=&\dfrac{a^{2n+1}}{2n+1}+\dfrac{a^{2n+1}}{2n+1}\\&=&2\cdot\dfrac{a^{2n+1}}{2n+1}\end{array}$
よって,
$\displaystyle\int^{a}_{-a}x^{2n}\,dx=2\cdot\dfrac{a^{2n+1}}{2n+1}\cdots\maru3$
ここで,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^{a}_{0}x^{2n}\,dx&=&\left[\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]^{a}_{0}\\&=&\dfrac{a^{2n+1}}{2n+1}\cdots\maru4\end{array}$
$\maru3, \maru4$ より,
$\displaystyle\int^{a}_{-a}x^{2n}\,dx=2\displaystyle\int^{a}_{0}x^{2n}\,dx$

使い方

【例題】次の定積分を求めよ。
$(1) \displaystyle\int^{5}_{-5}x^7\,dx$
$(2) \displaystyle\int^{3}_{-3}x^2\,dx$
$(3) \displaystyle\int^{3}_{-3}(x^3+2x^2+x+1)\,dx$

解答　クリックしてね

$(1) \displaystyle\int^{5}_{-5}x^7\,dx=0$ (奇関数は0)
$(2)$
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^{3}_{-3}x^2\,dx&=&2\displaystyle\int^{3}_{0}x^2\,dx\\&=&2\left[\dfrac13x^3\right]^{3}_{0}\\&=&18\end{array}$
(偶関数は2倍)
$(3)$
$\begin{array}{lll} \displaystyle\int^{3}_{-3}(x^3+2x^2+x+1)\,dx&=&2\displaystyle\int^{3}_{0}(2x^2+1)\,dx\\&=&2\left[\dfrac23x^3+x\right]^{3}_{0}\\&=&42\end{array}$
このように奇数乗の単項式(奇関数)は0になるので, 省いて計算できます。