高校数学：数III微分・三角関数・対数関数・指数関数の導関数の公式

こんにちは。今回は三角関数・指数関数・対数関数の導関数の公式について書いておきます。

三角関数の導関数

【基本公式】
$\maru1\,\,\left(\sin x\right)'=\cos x$ 　証明はこちら
$\maru2\,\,\left(\cos x\right)'=-\sin x$ 　証明はこちら
$\maru3\,\,\left(\tan x\right)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$ 　証明はこちら
【合成関数の場合の公式】
$\maru4\,\, \left\{\sin f(x)\right\}'=\left\{\cos f(x)\right\}\cdot f'(x)$
$\maru5\,\, \left\{\cos f(x)\right\}'=\left\{-\sin f(x)\right\}\cdot f'(x)$
$\maru6\,\, \left\{\tan f(x)\right\}'=\dfrac{f'(x)}{\cos^2f(x)}$
【 $n$ 乗の場合の公式】
$\maru7$
$\begin{array}{lll}\left\{\sin^n f(x)\right\}'&=&n\sin^{n-1} f(x)\cdot\left\{\sin f(x)\right\}'\\&=&n\sin^{n-1}f(x)\left\{\cos f(x)\right\}\cdot f'(x)\end{array}$
$\maru8$
$\begin{array}{lll}\left\{\cos^n f(x)\right\}'&=&n\cos^{n-1} f(x)\cdot\left\{\cos f(x)\right\}'\\&=&n\cos^{n-1}f(x)\left\{-\sin f(x)\right\}\cdot f'(x)\\&=&-n\cos^{n-1}f(x)\left\{\sin f(x)\right\}\cdot f'(x)\end{array}$
$\maru9$
$\begin{array}{lll}\left\{\tan^n f(x)\right\}'&=&n\tan^{n-1} f(x)\cdot\left\{\tan f(x)\right\}'\\&=&n\tan^{n-1}f(x)\cdot\dfrac{f'(x)}{\cos^2f(x)}\end{array}$

対数関数の導関数

【基本公式】
$\maru1\,\,\left(\log x\right)'=\dfrac1x$ 　証明はこちら
$\maru2\,\,\left(\log_a{x}\right)'=\dfrac{1}{x\log a}\, \, (a>0, a\neq1)$
特に $a=e$ なら $\maru1$ と一致する。
$\maru3\,\,\left(\log|x|\right)'=\dfrac1x$
$\maru4\,\,\left(\log_a{|x|}\right)'=\dfrac{1}{x\log a}\, \, (a>0, a\neq1)$
特に $a=e$ なら $\maru3$ と一致する。
【合成関数の場合の公式】
$\maru5\,\,\left\{\log|f(x)|\right\}'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$
$\maru6\,\,\left\{\log_a|f(x)|\right\}'=\dfrac{f'(x)}{f(x)\log a}$
特に $a=e$ なら $\maru5$ と一致する。

指数関数の導関数

【基本公式】
$\maru1\,\,\left(e^x\right)'=e^x$ 　証明はこちら
$\maru2\,\,\left(a^x\right)'=a^x\log a\, \, (a>0, a\neq1)$ 　証明はこちら
特に $a=e$ なら, $\maru1$ と一致する。
$\maru3\,\,\left(x^n\right)'=n x^{n-1}\,\,$ ( $n$ は実数)
【合成関数の場合の公式】
$\maru4\,\,\left\{e^{f(x)}\right\}'=e^{f(x)}\cdot f'(x)$
$\maru5\,\,\left\{a^{f(x)}\right\}'=a^{f(x)}\log a\cdot f'(x)$
特に $a=e$ なら, $\maru4$ と一致する。

三角関数の導関数

対数関数の導関数

指数関数の導関数

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