高校数学：ベクトル：四面体の体積(九州工大)

こんにちは。王道の問題ではないでしょうか。それではどうぞ。

2012九州工大

【問題】四面体 $\text{OABC}$ は $\text{OA}=1$ , $\text{OB}=\sqrt{15}$ , $\text{OC}=2$ , $\kaku{AOB}=\dfrac{\pi}{2}$ , $\kaku{AOB}=\dfrac{\pi}{3}$ を満たしている。線分OAと線分OBを $s : (1-s)\, (0<s<1)$ に内分する点をそれぞれP, Qとし, $\bigtriangleup\text{CPQ}$ の重心をGとする。 $\bekutoru{OA}=\bekutorui{a}$ , $\bekutoru{OB}=\bekutorui{b}$ , $\bekutoru{OC}=\bekutorui{c}$ , $\kaku{BOC}=\theta\, (0<\theta<\pi)$ として, 次に答えよ。
(1) ベクトル $\bekutoru{OG}$ を $\bekutorui{a}, \bekutorui{b}, \bekutorui{c}$ と $s$ を用いて表せ。
(2) ベクトル $\bekutoru{OG}$ は平面ABCに垂直であるとする。
(a) $s$ と $\cos\theta$ の値を求めよ。
(b) 線分OGとBCの長さ, および $\kaku{BAC}$ を求めよ。
(c) 四面体 $\text{OABC}$ の体積 $V$ を求めよ。
【九州工大】

解答pdf

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