高校数学：ベクトル：ベクトルと四面体の体積(九州工大)

こんにちは。いい問題だと思います。早速やっていきましょう。

九州工業大学

【問題】四面体OABCの面はすべて合同であり, $\text{OA}=5$ , $\text{OB}=8$ , $\text{OC}=7$ である。 $\bekutorui{a}=\bekutoru{OA}$ , $\bekutorui{b}=\bekutoru{OB}$ , $\bekutorui{c}=\bekutoru{OC}$ として, 次に答えよ。
(1) 内積 $\bekutorui{a}\cdot\bekutorui{b}$ , $\bekutorui{b}\cdot\bekutorui{c}$ および $\bekutorui{c}\cdot\bekutorui{a}$ を求めよ。
(2) 3点O, A, Bの定める平面を $\alpha$ とし, $\alpha$ 上の点Hを直線CHと $\alpha$ が垂直になるように選ぶ。 $\bekutoru{OH}$ を $\bekutorui{a}$ , $\bekutorui{b}$ を用いて表せ。
(3) (2)の点Hに対して, 線分CHの長さを求めよ。
(4) 四面体OABCの体積 $V_1$ を求めよ。また, 辺OCの中点をDとし, さらに辺OB上に点Eを $\text{AE+ED}$ が最小となるようにとる。このとき, 四面体OAEDの体積 $V_2$ を求めよ。
【九州工大】

解答pdf

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