こんにちは。今回は座標平面上の三角形の面積を求める公式を証明しましょう。
座標平面上の三角形の面積の公式
座標平面上の3点
を頂点とする
三角形の面積
を求める公式は
![Rendered by QuickLaTeX.com S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1a1eb3072901faf332ab610e3ccadc2_l3.png)
絶対値の中はA, Bの座標をたすき掛けしたものの差になる。
![](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2022/06/stasukithokseisit22.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \text{O}(0, 0), \text{A}(x_1, y_1), \text{B}(x_2, y_2)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2e6e506fd94fab55c0a94be8d98da41_l3.png)
三角形の面積
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絶対値の中はA, Bの座標をたすき掛けしたものの差になる。
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【方針】座標平面上の3点を頂点とする三角形において,
のとき直線ABの式を求め, その直線と原点の距離を求め三角形の面積を求めることにする。
のときは, 底辺が
軸に垂直になるため容易に求められる。
【証明】
( i )のとき, 直線ABの式は,
両辺にをかけて,
の形に変形すると,
したがって, この直線と原点Oの距離は,
ここで, の分母は, 2点A, Bの距離を表す式
になっていることに着目し,
ABを底辺, 高さをとして, 三角形の面積
を求めると,
の絶対値の中は順番を入れ替えても問題はないので,
となる。
( ii )のとき,
,
から
となり, これはに含めることができる。
( i ), ( ii )より,
【例題】3点(0, 0), (2, 6), (4, 1)を頂点とする三角形の面積を求めよ。
(答)
どの頂点も原点にない場合はどれか1つの頂点に着目し, それを原点に平行移動させて面積を求めます。この場合, 残りの2つの頂点も同じ量だけ平行移動させます。次の例題を見てみましょう。
【例題】3点を頂点とする三角形の面積を求めよ。
【解法】移動量の少ないAを原点に移すとして, 3点A, B, Cの座標を
,
座標を
すると,
三角形の面積を求めることは, 三角形
の面積を求めることと同じなので,
これに公式を適用し, (答)
最後に例題をやってみましょう。
【例題】3点を頂点とする三角形の面積を求めよ。
点を原点に移すとして
よって求める面積は, (答)