高校数学：座標平面上の三角形の面積

こんにちは。今回は座標平面上の三角形の面積を求める公式を証明しましょう。

公式

座標平面上の三角形の面積の公式

座標平面上の3点 $\text{O}(0, 0), \text{A}(x_1, y_1), \text{B}(x_2, y_2)$ を頂点とする
三角形の面積 $S$ を求める公式は
$S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|$
絶対値の中はA, Bの座標をたすき掛けしたものの差になる。

証明

【方針】座標平面上の3点 $\text{O}(0, 0), \text{A}(x_1, y_1), \text{B}(x_2, y_2)$ を頂点とする三角形において,
$x_1\neq x_2$ のとき直線ABの式を求め, その直線と原点の距離を求め三角形の面積を求めることにする。
$x_1=x_2$ のときは, 底辺が $x$ 軸に垂直になるため容易に求められる。
【証明】
( i ) $x_1\neq x_2$ のとき, 直線ABの式は,
$y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$
両辺に $(x_2-x_1)$ をかけて, $ax+by+c=0$ の形に変形すると,
$(y_2-y_1)x-(x_2-x_1)y+x_2y_1-x_1y_2=0$
したがって, この直線と原点Oの距離 $d$ は,
$d=\dfrac{|x_2y_1-x_1y_2|}{\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}}\cdots\maru1$
ここで, $\maru1$ の分母は, 2点A, Bの距離を表す式 $\left(\text{AB}=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}\right)$ になっていることに着目し,
ABを底辺, 高さを $d$ として, 三角形の面積 $S$ を求めると,
$\begin{array}{lll}S&=&\dfrac12\cdot \text{AB}\cdot d\\&=&\dfrac12\cdot\cancel{\text{AB}}\cdot\dfrac{|x_2y_1-x_1y_2|}{\cancel{\text{AB}}}\\&=&\dfrac12|x_2y_1-x_1y_2|\cdots\maru2\end{array}$
$\maru2$ の絶対値の中は順番を入れ替えても問題はないので,
$S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|\cdots\maru3$
となる。
( ii ) $x_1=x_2$ のとき,
$\text{AB}=|y_2-y_1|$ , $d=|x_1|$ から
$\begin{array}{lll}S&=&\dfrac12|y_2-y_1||x_1|\\&=&\dfrac12|x_1y_2-x_1y_1|\end{array}$
となり, これは $\maru3$ に含めることができる。
( i ), ( ii )より,
$S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|$

使い方の例

【例題】3点(0, 0), (2, 6), (4, 1)を頂点とする三角形の面積を求めよ。

解答　クリックしてね

$\dfrac12|2\cdot1-6\cdot4|=11$
$11\cdots$ (答)

頂点が原点にない場合

どの頂点も原点にない場合はどれか1つの頂点に着目し, それを原点に平行移動させて面積を求めます。この場合, 残りの2つの頂点も同じ量だけ平行移動させます。次の例題を見てみましょう。
【例題】3点 $\text{A}(1, -2), \text{B}(3, 4), \text{C}(5, -1)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ。
【解法】移動量の少ないAを原点に移すとして, 3点A, B, Cの $x$ 座標を $-1$ , $y$ 座標を $+2$ すると,
$\text{A}(1-1, -2+2)\Longrightarrow \text{A}'(0, 0)$
$\text{B}(3-1, 4+2)\Longrightarrow \text{B}'(2, 6)$
$\text{C}(5-1, -1+2)\Longrightarrow \text{C}'(4, 1)$
三角形 $\text{ABC}$ の面積を求めることは, 三角形 $\text{A}'\text{B}'\text{C}'$ の面積を求めることと同じなので,
これに公式を適用し,
$\dfrac12|2\cdot1-6\cdot4|=11$
$11\cdots$ (答)