こんにちは。今回は区分求積法について書いておきます。
関数が
において常に
であるとき,
のグラフと
軸, および2直線
で囲まれた面積を
とする。
図のように, 区間を
等分して, 左から順に,
とし, 分割の幅を
とする。このとき, 図にできた
個の長方形の面積の和
は,
ただし, とする。
と表される。この式において, が十分大きいとき, その値は
の値に近づき,
は
において,
とした極限値であると考えてもよい。
また, 面積は区間
における関数
の定積分として与えられるから,
ただし, ,
が成り立つ。
このように区間を分割して, その区間の面積を長方形の面積の和(数列の和)の極限として求める方法を, 区分求積法という。
また, この区分求積法において, 長方形の縦の長さは
![Rendered by QuickLaTeX.com f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_k)](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f9410394ef1899299eb18ab0ae0503e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_{k-1})](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-006b3e98c4f5628c5106f3495e3d4044_l3.png)
この場合の関係式は,
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}f(x_k)\Delta x=\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx\cdots\maru2](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0188a8145d0d9eed7ba9421bc52dc55_l3.png)
ただし,
![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta x=\dfrac{b-a}{n}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5461199ae84ff4fddef65bf467a871c2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_k=a+k\Delta x](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb14c5002850072302304ab6e7f9e184_l3.png)
となる。
上のの式において,
,
とすると,
となるので,
次式が得られる。
これを用いて, 数列の和の極限を, 定積分を用いて求められる場合がある。
ちなみに式の場合だと,
となる。
【例】次の極限を求めよ。
(1)
(2)
【解答例】
(1)
(2)