こんにちは。メネラウスの定理を使う問題をやってみましょう。それではどうぞ。
において, 辺
を3等分する点を
に近い方から順に
とする。さらに, 辺
を
に内分する点を
, 線分
と線分
の交点を
, 線分
の延長線と辺
との交点を
とする。このとき, 次の問いに答よ。
(1) の比を求めよ。
(2) の比を求めよ。
(3) の比を求めよ。
(4) の面積を
とするとき,
の面積を
を用いて表せ。
【解答例】
(1) △ADCと線分AEで, メネラウスの定理より,
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}\cdot\dfrac{\mathrm{DH}}{\mathrm{HC}}\cdot\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}}=1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ae8c0b470431192cd3dc0e6070a730d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{\mathrm{DH}}{\mathrm{HC}}\cdot\dfrac{2}{3}=1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-95a931b7b3af4c6cb173aba9763ecf9a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\mathrm{DH}}{\mathrm{HC}}=\dfrac{3}{4}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-82071d661a289a80fdbdb829c21d97b3_l3.png)
よって,
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathrm{DH} : \mathrm{HC} = 3 : 4\cdots](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e805d4acc40348f53d7877d1505c5a2c_l3.png)
(2) △BCDと線分AIで, メネラウスの定理より,
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\mathrm{BI}}{\mathrm{IC}}\cdot\dfrac{\mathrm{CH}}{\mathrm{HD}}\cdot\dfrac{\mathrm{DA}}{\mathrm{AB}}=1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-adcec4d38ec44cc2c5a455e8d32f3bdb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\mathrm{BI}}{\mathrm{IC}}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aee20ff45e7906196bd49c5fc4409fe6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\mathrm{BI}}{\mathrm{IC}}=\dfrac{9}{4}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b11b329069cfc237728e9c17ad99abe_l3.png)
よって,
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathrm{BI} : \mathrm{IC} = 9 : 4\cdots](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-249184bfb8ce4c8049cf22e953a5fdf3_l3.png)
(3) △ABIと線分CDで, メネラウスの定理より,
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HI}}\cdot\dfrac{\mathrm{IC}}{\mathrm{CB}}\cdot\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}=1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-33a5a944e186dc739e093f7b8029a3c1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HI}}\cdot\dfrac{4}{13}\cdot\dfrac{2}{1}=1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d0f8b65ece0321aeb419bf04b768c07_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HI}}=\dfrac{13}{8}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5271a8ef57cb3ecda932f46b15389e65_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathrm{AH} : \mathrm{HI} = 13 : 8\cdots](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a60139258b89ef635f4ac97872e4f8e2_l3.png)
(4)
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}\bigtriangleup\mathrm{EIH}&=&\dfrac{8}{21}\bigtriangleup\mathrm{AEI}\\&=&\dfrac{8}{21}\cdot\dfrac{2}{3}\bigtriangleup\mathrm{AIB}\\&=&\dfrac{8}{21}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{9}{13}\bigtriangleup\mathrm{ABC}\\&=&\dfrac{16}{91}S\end{array}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-039ebc0ee91503fc5066fa6ee06cc3dd_l3.png)
よって,
![Rendered by QuickLaTeX.com \bigtriangleup\mathrm{EIH}=\dfrac{16}{91}S\cdots](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca9bf7cded26c63f6b306ccbd233e9d2_l3.png)