高校数学：空間ベクトル：ベクトルがx軸, y軸, z軸となす角を求める

こんにちは。空間ベクトルが, $x$ 軸, $y$ 軸, $z$ 軸の正の向きとなす角を求める問題です。早速いってみましょう。

問題

【問題】ベクトル $\bekutorui{a}=(2, 0, -2\sqrt3)$ が, $x$ 軸, $y$ 軸, $z$ 軸の正の向きとなす角を, それぞれ, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ とするとき, $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ の値をもとめ, $\alpa, \beta, \gamma$ を求めよ。

解答・解説

【解答・解説】
$x$ 軸, $y$ 軸, $z$ 軸の正の方向の単位ベクトルをそれぞれ, $\overrightarrow{\mathstrut e_x}=(1, 0, 0), \overrightarrow{\mathstrut e_y}=(0, 1, 0), \overrightarrow{\mathstrut e_z}=(0, 0, 1)$ とする。
$\bekutorui{a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut e_x}$ の内積は, $\bekutorui{a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut e_x}=2$
$\left|\overrightarrow{\mathstrut a}\right|=4$ , $\left|\overrightarrow{\mathstrut e_x}\right|=1$ より,
$\begin{array}{lll}\cos\alpha&=&\dfrac{\bekutorui{a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut e_x}}{\left|\overrightarrow{\mathstrut a}\right|\left|\overrightarrow{\mathstrut e_x}\right|}\\&=&\dfrac{2}{4\cdot1}\\&=&\dfrac12\end{array}$
$0\Deg\leqq\alpha\leqq180\Deg$ より, $\alpha=60\Deg$
$\bekutorui{a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut e_y}$ の内積は, $\bekutorui{a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut e_y}=0$
$\left|\overrightarrow{\mathstrut a}\right|\neq0$ , $\left|\overrightarrow{\mathstrut e_y}\right|\neq$ より,
$\cos\beta=0$
$0\Deg\leqq\beta\leqq180\Deg$ より, $\beta=90\Deg$
$\bekutorui{a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut e_z}$ の内積は, $\bekutorui{a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut e_z}=-2\sqrt3$
$\left|\overrightarrow{\mathstrut a}\right|=4$ , $\left|\overrightarrow{\mathstrut e_z}\right|=1$ より,
$\begin{array}{lll}\cos\gamma&=&\dfrac{\bekutorui{a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut e_z}}{\left|\overrightarrow{\mathstrut a}\right|\left|\overrightarrow{\mathstrut e_z}\right|}\\&=&\dfrac{-2\sqrt3}{4\cdot1}\\&=&-\dfrac{\sqrt3}{2}\end{array}$
$0\Deg\leqq\gamma\leqq180\Deg$ より, $\gamma=150\Deg$
以上より,
$\cos\alpha=\dfrac12, \cos\beta=0, \cos\gamma=-\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\alpha=60\Deg, \beta=90\Deg, \gamma=150\Deg$

攻略ポイント

$x$ 軸, $y$ 軸, $z$ 軸の正の方向の単位ベクトルをそれぞれ, $\overrightarrow{\mathstrut e_x}=(1, 0, 0), \overrightarrow{\mathstrut e_y}=(0, 1, 0), \overrightarrow{\mathstrut e_z}=(0, 0, 1)$ とする。
これを用いて, $\cos$ の値を求めていく。

問題

解答・解説

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