高校数学：確率：さいころの出る目の最小値問題

よく生徒から聞かれる問題をピックアップしてお届けします。今回はこちら。

サイコロの最小値

【問題】1個のサイコロを3回続けて投げるとき, 次の確率を求めよ。
(1) 目の最小値が2以下である確率。
(2) 目の最小値が2である確率。

解答・解説

【解答】
(1) $\dfrac{19}{27}$
(2) $\dfrac{61}{216}$
【解説】
(1) 最小値が2以下ということは, 出る目が3以上(最小値が3以上)の余事象であることに着目する。
したがって, 出る目が3, 4, 5, 6となる確率は $\dfrac23$
よって, 出る目が2以下の確率は,
$1-\left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{19}{27}$
(2) 出る目の最小値が2ということは,
出る目が2以上の確率から出る目が3以上の確率を引けばよい。
出る目が2以上とは, 3回のサイコロの出目が2, 3, 4, 5, 6のどれかであればよいので,
その確率は, $\left(\dfrac56\right)^3=\dfrac{125}{216}$
出る目が3以上の確率は, (1)のところで, $\left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{8}{27}$ と求めている。
したがって, 出る目の最小値が2の確率は,
(出る目が2以上の確率)－(出る目が3以上の確率)
$\dfrac{125}{216}-\dfrac{8}{27}=\dfrac{61}{216}$
【別解1】
出る目の最小値が2ということは, 出る目が2以下の場合の数から, その中に1を含まない場合の数である。したがって, 出る目が3以上の場合の数は, 3, 4, 5, 6の4通りが3回とも出ればいいので, $4^3=64$ 通り $\cdots\maru1$
3回のうちに少なくとも1を1回含む場合は, すべての場合の数( $6^3=216$ 通り)から, 1以外が出る場合の数( $5^3=125$ 通り：2～6の5通りが出る場合の数)を引いたものだから,
$216-125=91$ 通り $\cdots\maru2$
$\maru1, \maru2$ から最小値が2になる場合の数は,
$216-64-91=61$ (通り)
よって求める確率は, $\dfrac{61}{216}$
【別解2】
目の最小値が2以下になる確率は(1)で $\dfrac{19}{27}$ としているので,
少なくとも1の目を1回含む場合の確率 $\dfrac{91}{216}$ (場合の数の求め方は前途参照)を(1)の確率から引けばよい。
よって, 求める確率は,
$\dfrac{19}{27}-\dfrac{91}{216}=\dfrac{61}{216}$