高校数学：数C複素数：複素数の回転移動と極限値(日本女子大改)

こんにちは。有名な問題ですかね。類題が広島大学で出題されていましたね。どっちが先かは存じませんが。少し表現変えて, つくり変えてます。それではどうぞ。

日本女子大学(一部表現改)

【問題】複素平面上の原点を $\text{P}_0$ とし, $\text{P}_0$ から実軸の正の方向に1進んだ点を $\text{P}_1$ とする。次に $\text{P}_1$ を中心として $\dfrac{\pi}{4}$ 回転して向きを変え, $\dfrac{1}{\sqrt2}$ 進んだ点を $\text{P}_2$ とする。以下同様に $\text{P}_n$ に到達した後, $\dfrac{\pi}{4}$ 回転してから前回進んだ距離の $\dfrac{1}{\sqrt2}$ 倍進んで到達する点を $\text{P}_{n+1}$ とする。このとき点 $\text{P}_{10}$ が表す複素数を求めよ。また, $n$ を次々と増やしていくと $\text{P}_n$ はある点Qに限りなく近づく, その複素数を求めよ。
【日本女子大改】