こんにちは。今回は分点の公式を使いこなすことで, 点Pの位置を調べてみましょう。それでは例題を見ていきます。
【例】△ABCと点Pに対して, が成り立つとき, 点Pはどのような位置にあるか調べよ。
【解法】
図を参考にすべて始点をAにして等式を書き換えることにする。
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{\text{PA}}=-\overrightarrow{\text{AP}}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3d77a9a1dadd5314b76d66af7e1cab6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{\text{PB}}=\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AP}}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88599972ea8ae7ee31c3dd2f86d4c82b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{\text{PC}}=\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{AP}}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-979348e0a2bf25629ef0aa2f0556c595_l3.png)
であるから, 与式の等式は次のようになる。
![Rendered by QuickLaTeX.com -2\overrightarrow{\text{AP}}+3\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AP}}\right)+4\left(\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{AP}}\right)=\overrightarrow{0}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ba7deae0a43004d9e86e5110acd99c95_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com -9\overrightarrow{\text{AP}}+3\overrightarrow{\text{AB}}+4\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{0}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c15ddc171f477f51d40f9f7ac2f6d0d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{\text{AP}}=\dfrac19\left(3\overrightarrow{\text{AB}}+4\overrightarrow{\text{AC}}\right)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-08e4fbc1ef93c1bd14536add40b8993f_l3.png)
これを分点の公式
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-403641ee1a936b50a87d467de6a14c52_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{\text{AP}}=\dfrac79\left(\dfrac{3\overrightarrow{\text{AB}}+4\overrightarrow{\text{AC}}}{7}\right)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf249c85f72a76da5136b00178c76ad0_l3.png)
これより, 辺BCを4 : 3に内分する点をQとすると, 点Pは線分AQを7 : 2に内分する点である。下図参照。
流れをつかんでおこう
始点を頂点の1つにそろえて等式を書き換える。
書き換えた等式をPを含むベクトルについて解く。今回なら
分点の公式
を用いて式変形する。
変形した式から位置を読み取る。