高校数学：数III積分：極方程式と曲線の長さ(神戸大)

2024年2月4日

こんにちは。図形問題では必須かもしれませんね。それではどうぞ。

神戸大学

【問題】極方程式で表された $xy$ 平面上の曲線 $r=1+\cos\theta\, (0\leqq\theta\leqq2\pi)$ を $C$ とする。以下の問いに答えよ。
(1) 曲線 $C$ 上の点を直交座標 $( x, y )$ で表したとき, $\dfrac{dx}{d\theta}=0$ となる点, および $\dfrac{dy}{d\theta}=0$ となる点の直交座標を求めよ。
(2) $\displaystyle\lim_{n\to\pi}\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。
(3) 曲線 $C$ の概形を $xy$ 平面上にかけ。
(4) 曲線 $C$ の長さを求めよ。
【神戸大】

解答pdf
解答の中で, $\dfrac{dx}{d\theta}$ や $\dfrac{dy}{d\theta}$ を求めるときに, $\theta$ の範囲が $0<\theta<2\pi$ と等号(イコール)が取れた範囲になっていますが, これは定義域の端点の微分係数は考えないということからそういう範囲になっています。

神戸大学

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