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研究テーマ&攻略法
私の備忘録です。数学で僕が疑問に思ったことや興味をもったもの、生徒から聞かれた質問などをまとめました。これから徐々に 増やしていく予定です。楽しんでいってください。
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コンテンツ選択 | 
高校生共通
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高校1年内容
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高校2年内容
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高校3年内容
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高校生共通
コンテンツタイトル
代入性の原理について
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高校1年生用
コンテンツタイトル
■数と式
整式:単項式と多項式
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特定の文字に着目した場合の次数と係数
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降べきの順と昇べきの順について
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自然数の数え上げの計算方法
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置き換えの因数分解
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たすき掛けの因数分解
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知れば時短・たすき掛けの因数分解のコツ
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こんな方法でも因数分解できるよ
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因数分解のコツ
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そのままでは不可能な因数分解
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a^5+b^5の因数分解とその周辺のテクニック
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a^3+b^3+c^3-3abcの因数分解とその用途
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二重根号の外し方
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二重根号のお話し
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xにマイナスが付くと不等号の向きが変るのなぜ?
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不等式を満たす最大の整数
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絶対値の場合分け①(|文字式|と正の数)
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絶対値の場合分け②(|文字式|と文字式)
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絶対値の場合分け③(|文字式|が2つある場合)
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対称式と基本対称式について
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x^5+y^5の式変形を忘れたときの対処法
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有名不等式x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zxの証明
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■2次関数
放物線の平行移動①
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放物線の対称移動・グラフの対称移動
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放物線の平行移動②グラフの平行移動
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2次関数の場合分け・軸が動く
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2次関数の場合分け・定義域が動く
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判別式・2次方程式の解の個数
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2次関数の係数の符号決定などの解法
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2次関数と2次方程式の解①
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2次関数と2次方程式の解②
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2次方程式の解と定数aの範囲(少なくとも1つの実数解)
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2次不等式の考え方
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2次不等式の係数を求める解法
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2つの2次関数の大小関係➀(定義域なし)
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2つの2次関数の大小関係➁(定義域あり)
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■集合と命題
命題と集合の入り口
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十分条件・必要条件・必要十分条件
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「かつ」と「または」の意味
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否定・逆・裏・対偶について
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背理法・無理数は存在しない数
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■図形と計量(三角比)
三角比の入り口(sin,cos,tanとは)
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三角比の簡単な応用
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三角比は円をつかって求めよう
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三角比からθを求める
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三角比の相互関係①覚えておきたいもの
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三角比の相互関係②90°-θの三角比
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三角比の相互関係③180°-θの三角比
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図で覚える三角比の公式
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sin^2+cos^2=1の証明(三平方の定理)とその周辺の暗記
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sin^2+cos^2=1の証明(単位円)
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正弦定理と証明
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余弦定理を用いた正弦定理の証明
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正弦定理と最大角の問題
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余弦定理
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三角形の形状(鋭角,直角,鈍角)
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三角形の存在条件と証明
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どんな三角形か調べる方法
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三角形の面積の公式
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3辺が分かる三角形の面積の求め方
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内接四角形の面積(1つの内角が分かるとき)
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内接四角形の面積(4つの辺が分かるとき)
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四角形の面積
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内接円の半径の求め方
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3本の脚の長さが等しい四面体の体積
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■図形の性質
高1での内分点外分点の話
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円の接線と弦のつくる角(接弦定理)
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三角形の内角の二等分線の比
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三角形の外角の二等分線の公式に頼らない解き方
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方べきの定理を理解して暗記量を減らそう
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三角形の4心(重心,垂心,外心,内心)の位置関係
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三角形の5心を視覚的に
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メネラウスの定理
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チェバの定理
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■場合の数
場合の数・積の法則とは
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自然数Nの約数の個数と総和
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順列について
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円順列について
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重複順列について
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同じものを含む順列
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特定の文字の並び方が決まった場合の数
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最短経路の場合の数
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組合せについて
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組分けの問題
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重複組合せについて
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数の順列について(数の大小が条件)
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立体の塗分けに関しての疑問解消
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■確率
独立試行の確率
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独立試行の確率・余事象
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排反事象の確率
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反復試行の確率
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〇回目で勝負がつく確率
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条件付き確率について
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確率の最大値
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期待値について
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サイコロの出る目の最小値
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■整数の性質
最大約数・最小倍数の求め方のコツ
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最大約数・最小倍数の性質
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約数・倍数の基本問題の解法
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合同式の性質と使い方
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7の100乗を6で割った余り
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因数分解を使った整数問題
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不等式による整数解の絞り込み
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ユーグリッドの互除法とは
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整数問題の解き方のコツ1(ユーグリッドの互除法)
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整数問題の解き方のコツ2(合同式を用いる)
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11で割ると9余り,5で割ると2余る自然数
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末尾に何個0が並ぶかの問題と解法
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■データの分析
箱ひげ図に関して
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分散・標準偏差などの公式
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分散・標準偏差などのお話
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相関係数について
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データがすべてa増えたらどうなる?
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データがすべてa倍されたらどうなる?
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データxをすべてax+bに変換するとどうなる?
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2つに分けた変量から全体の分散を求める方法
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仮平均を用いた分散・標準偏差の求め方
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仮説検定について
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高校2年生用
コンテンツタイトル
■式と証明
二項定理のCについて
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(a+b+c)^nの展開と係数
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恒等式の攻め方
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相加相乗平均の秘密?
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剰余の定理と整式の余りの問題の解法①
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剰余の定理と整式の余りの問題の解法②
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整式の除法を用いた式の値の解法
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(x-1)^99をx^2で割ったときの余り
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x^99をx^2-1で割ったときの余り
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■複素数と方程式
複素数解と方程式
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判別式・2次方程式の解の個数
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2次方程式・3次方程式の解と係数の関係式
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解と係数の関係と定数mの範囲①
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解と係数の関係と定数mの範囲②
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ωを用いた式の値の解法
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■図形と方程式
直線の式の公式y-b=m(x-a)の導出
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傾きm,点(a,b)を通る直線の式の覚え方の提案
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3直線が三角形を作らない場合の問題
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点と直線の距離の証明
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座標平面上の三角形の面積の公式と使い方
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円と接線の方程式(基本的な証明)
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円と接線の方程式(ベクトルを用いた証明)
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円の外部からの接線
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円の外部からの接線2(補足)
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2円の共通接線の求め方
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2つの接線の接点を通る直線の式の求め方
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2円の交点を通る図形の式のなぜ?
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交点を通る直線(束)
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交点を通る円(束)
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円と直線の位置関係(共有点の個数)
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2つの円の位置関係(公式まとめました)
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軌跡の基本的な解法①
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軌跡の基本的な解法②
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軌跡の基本的な解法③
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軌跡(雑談)
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領域と最大値・最小値①
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領域と最大値・最小値②
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■三角関数
弧度法とは
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弧度法と扇形
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180°を越える三角関数
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θが-θになった場合の三角関数
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θがθ+π/2になった場合の三角関数
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θがθ+πになった場合の三角関数
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sin1,sin2,sin3,sin4やcos1,cos2,cos3,co4の大小関係
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三角関数を含む方程式①
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三角関数を含む不等式①
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三角関数を含む方程式②
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三角関数を含む不等式②
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三角関数を含む方程式・不等式③
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三角関数を含む関数の最大値・最小値①
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三角関数を含む関数の最大値・最小値②
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三角関数を含む関数の最大値・最小値③
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三角関数を含む方程式の解の個数の問題
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三角形を使った加法定理の証明
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単位円を使った加法定理の証明
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台形を使った加法定理の証明(覚えやすいかも)
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3倍角の公式の覚え方(ゴロで暗記, 工夫して暗記)
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2直線のなす角を求める(加法定理編)
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三角形におけるtanの定理
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三角関数の合成のなぜ?
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積和の公式とその導出
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■指数関数
指数の決まり
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累乗根とは
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累乗根の性質と計算1
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累乗根の性質と計算2
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分数の指数を持つ数の大小関係
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指数関数とグラフ
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累乗根の大小関係(底がそろう場合)
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累乗根の大小関係(底が異なる場合)
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指数関数を含む方程式
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指数関数を含む不等式
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指数関数を含む関数の最大値・最小値
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t=2^x+2^-xとおくときにするべきこと
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■対数関数
指数と対数・対数とは
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log_2(5)が無理数であることの証明
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対数の性質と証明
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対数の性質を用いた計算
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対数関数とグラフ
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対数の大小関係
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テクニック不要の対数の大小関係の調べ方
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logx+log(x+1)とlogx(x+1)は同値でない
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対数を含む方程式
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対数を含む不等式
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対数を含む不等式で底が1より小さいと不等号の向きが変わる理由
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対数関数を含む関数の最大値・最小値
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常用対数と計算
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常用対数と自然数の桁数
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自然数の桁数と最高位の数
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常用対数と小数の桁数
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小数第何位に初めて0でない数が現れその数は何か
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■平面ベクトル
ベクトル・座標と成分の違い
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ベクトルの成分と大きさ,平行について
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ベクトルの内積について
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合成ベクトルを視覚的に
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ベクトルと三角形の面積
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位置ベクトルとは
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分点の公式をマスターしよう
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三角形の重心の位置ベクトル
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内分点とベクトル
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ベクトルと内分点と比
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ベクトルとPの位置(分点公式の応用)
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3点が一直線上にある条件
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直線ax+by+c=0がベクトル(a, b)と垂直なわけ
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直線のベクトル方程式
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内積を用いた直線のベクトル方程式
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円のベクトル方程式
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ベクトルとPの動く範囲1
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ベクトルとPの動く範囲2
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ベクトルのなす角は180°を越えない?
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ベクトルの内積と余弦定理
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点から直線へ垂線を下ろした座標と線分の長さ
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2直線のなす角を求める(ベクトル編)
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s+t=1のなぜ(平面ベクトル)
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■空間ベクトル
空間座標の基本
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空間における対称点の求め方
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空間ベクトルの基本
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空間ベクトルがx軸,y軸,z軸となす角を求める
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空間ベクトルがなす角から他の値を求める
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s+t+u=1のなぜ(空間ベクトル)
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s+t+u=1をうまく使おう(空間ベクトル)
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空間において4点が同一平面上にある(空間ベクトル)
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2つのベクトルに垂直なベクトル(空間ベクトル)
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空間ベクトルの頻出問題(垂線の足の座標)
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空間ベクトルの頻出問題(四面体)
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4頂点の座標がわかる四面体の体積の攻略(空間ベクトル)
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四面体と点Pの位置関係の問題
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球体をある平面で切ったときの切り口の円の方程式
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空間における垂直なベクトルを外積を用いて求める
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■数列
等差数列の性質を用いた解法①
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等差数列の性質を用いた解法②
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等比数列の性質を用いた解法①
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等比数列の性質を用いた解法②
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等差数列と等比数列の性質を用いた解法
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1~nまでの自然数の和の公式と導出
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n^2の和の公式と導出
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n^3の和の公式と導出
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等比数列の和の公式と導出
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等比数列の和の公式のからくり
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等差数列の和から学ぶこと
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分子が1の部分分数分解の求め方
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部分分数和の数列の和の求め方
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分母が無理数和の数列の和の求め方
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複雑な数列(等比系)の和の求め方
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群数列のn群の最初の数
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S_n-S_n-1=a_n,S_n+1-S_n=a_n+1の導出
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等差数列の漸化式
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等比数列の漸化式
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階差数列系の漸化式
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漸化式a_{n+1}=pa_n+qの変形
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少し複雑な漸化式の変形
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3項間漸化式の基本3パターン
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分数型漸化式①
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分数型漸化式②
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log(対数)をとる漸化式
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連立漸化式の解法(2パターン)
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確率と漸化式
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数学的帰納法とは
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帰納法と等式の証明の解法
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帰納法と不等式の証明の解法
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帰納法と倍数の証明の解法
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帰納法と漸化式の解法
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帰納法の問題(こりゃ手品か?)
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複利計算を考える
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■微分法・積分法
x^nの微分がnx^(n-1)になるわけ(二項定理)
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微分と接線の傾き
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曲線上にない点からの接線の解法
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3次関数が極値をもつ,もたないということ
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3次関数の増減表とグラフの概形について
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3次関数f(x)と導関数f'(x)の体系的な理解
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3次関数を微分した関数から読み取れること
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3次関数の接線の本数
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3次関数の変曲点
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3次関数の接線と接点,交点の関係
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関数の増減と極値
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解法のテクニック・定数分離の基本解法
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解法のテクニック・定数分離の解法2(応用)
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定数分離の解法を考えてみる
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定積分で表された関数の微分
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積分方程式の攻め方
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定積分と面積(なぜ積分で面積が求まるのか)
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定積分と面積
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放物線と2接線の交点の関係
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2次関数の1/6公式:証明と使い方
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3次関数の1/12公式と証明
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積分の公式の証明と使い方
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絶対値を含む関数の積分の問題
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面積を二等分する直線の傾きを求める問題
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面積が一定であることを示す問題
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放物線と円で囲まれた図形の面積
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■統計的な推測
両側検定か片側検定かの見分け方
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高校3年生用
コンテンツタイトル
■複素数平面
極形式とその表し方
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複素数はベクトルと同一視できる
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複素数の積と商
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複素数の回転について(補足)
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2直線のなす角と求め方
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3点が同一直線上にあるときと垂直に交わるときの性質
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3点α,β,γが正三角形の3頂点であるときの関係式
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複素数平面における(負)×(負)=(正)
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便利なドモアブルの定理
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複素数の問題における式変形の解法①α/βを求める
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zが虚軸を動くとき, 実軸を動くときの式変形の方法
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複素数の問題における式変形の解法②軌跡の問題
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複素数の問題における式変形の解法③z^n-1の因数分解
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n乗根の求め方
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■式と曲線
逆関数はy=xについて対称
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2次曲線の接線と証明
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楕円の外側からの接線の求め方2選
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点(b, a)からの楕円への2接線は直交する
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楕円への2接線が直交する場合の軌跡
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楕円が切り取る線分の長さに関する問題
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2次曲線と媒介変数
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サイクロイド曲線とその性質
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アステロイド曲線とその性質
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極座標と直交座標について
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極座標における2点間の距離と三角形の面積の公式
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極座標における直線や円の極方程式
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rcos(θ+π/3)=-√3のグラフの書き方
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■極限
x→‐1+0ならx^2→1-0となる理由
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有理化・無理化をすると極限が求まる理由
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数列の極限
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数列間の極限の関係とはさみうちの原理
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等比数列の極限
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等比数列の極限・場合分けの問題
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無限級数と収束, 発散
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無限等比級数の収束, 発散
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無限級数の性質
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無限級数の収束,発散の判定方法
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無限等比級数と関数
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関数と極限
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関数の大小とはさみうちの原理
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ガウス記号と極限
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極限での係数決定問題
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指数関数と極限
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対数関数と極限
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三角関数と極限
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lim[x→0]sinx/x=1の証明とグラフ
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関数と極限(中間値の定理)
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少なくとも1つの実数解
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■微分法とその応用
関数の連続と微分可能
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微分の定義と和差積商の微分法
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x^nの微分がnx^(n-1)になるわけ(対数微分法)高2内容と同じ
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積の微分の公式のなぜ・3つの積の場合は?
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商の微分の公式のなぜ
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合成関数の微分法
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分数の無理式の微分法
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逆関数の微分法
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三角関数・対数関数・指数関数の導関数の公式
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sinxを微分するとcosxになり,cosxを微分すると-sinxになるわけ
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tanxを微分すると1/cos^2xになるわけ
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logxを微分すると1/xになるわけ
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a^xを微分するとa^xlog aになるわけ
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対数微分法
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自然対数eの定義について
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e^xはなぜ微分してもe^xなのか
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関数f(x,y)=0の微分法
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媒介変数表示の関数の微分法
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高次導関数について
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a^bとb^aの大小関係について
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接線と法線の方程式
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2次曲線の接線の公式の導出
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平均値の定理
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関数の増減と極値
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変曲点と曲線の凹凸
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3次関数の変曲点
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グラフの漸近線
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第2次導関数を用いた極値の判定法
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少し頭に入れておきたいグラフ(logx編)
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少し頭に入れておきたいグラフ(e^x編)
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少し頭に入れておきたいグラフ(分数関数編)
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減衰曲線y=e^(-x)sinxの特徴
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カテナリー曲線とその類似関数のグラフ
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覚えておくといいグラフとその概形(√x+√y=1)
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■積分法とその応用
積分の基本公式と基本テクニック
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置換積分法の基本的考え方
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分数関数の積分のコツ
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無理関数の積分のコツ
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三角関数の積分のコツ
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指数関数・対数関数の置換積分のコツ
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tan(x/2)=tとする置換積分の方法
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a^xの積分結果を忘れたら微分して思い出す
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三角関数を用いた有名な置換積分法
 | 
私が感動した積分の解法
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部分積分法のコツとテクニック
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定積分の性質と計算方法
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定積分の置換積分法
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偶関数と奇関数の性質と例と定積分
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定積分の部分積分法
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区分求積法
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上下評価の区分求積法
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区分求積を手計算してみた
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定積分と不等式
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定積分と面積
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定積分と体積(なぜ体積が求まるのか)
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x軸, y軸についての回転体の体積
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y軸についての回転体の求積(バウムクーヘン積分法)
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関数で囲まれた回転体の体積
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斜回転体の体積について
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x^ne^x系の積分漸化式について
 | 
(logx)^n系の積分漸化式について
 | 
sin^nx,cos^nx,tan^nxの積分漸化式について
 | 
瞬間部分積分法(裏技?)
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